FY8 - Fotonin energia

Annettujen tietojen ja tekstien perusteella ratkaisu on seuraava:

**Annetut arvot:**
* Aallonpituus $\lambda = 250 \, \text{nm} = 250 \cdot 10^{-9} \, \text{m}$
* Planckin vakio $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}$
* Valon nopeus $c = 3,00 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$
* Muunnoskerroin $1 \, \text{eV} = 1,60 \cdot 10^{-19} \, \text{J}$

---

**a) Laske yhden fotonin energia jouleissa.**

Käytetään tekstissä (Passage 2 ja 3) esitettyä Planckin yhtälöä:
$$E = hf = \frac{hc}{\lambda}$$

Sijoitetaan arvot:
$$E = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{250 \cdot 10^{-9} \, \text{m}}$$
$$E = \frac{1,989 \cdot 10^{-25}}{250 \cdot 10^{-9}} \, \text{J}$$
$$E \approx 7,956 \cdot 10^{-19} \, \text{J}$$

**Vastaus:** Fotonin energia on noin $7,96 \cdot 10^{-19} \, \text{J}$.

---

**b) Laske saman fotonin energia elektronivoltteina.**

Muutetaan a-kohdassa saatu energia elektronivolteiksi jakamalla se yhden elektronivoltin arvolla:
$$E_{\text{eV}} = \frac{E_{\text{J}}}{1,60 \cdot 10^{-19} \, \text{J/eV}}$$
$$E_{\text{eV}} = \frac{7,956 \cdot 10^{-19} \, \text{J}}{1,60 \cdot 10^{-19} \, \text{J/eV}}$$
$$E_{\text{eV}} = 4,9725 \, \text{eV}$$

**Vastaus:** Fotonin energia on noin $4,97 \, \text{eV}$.

---

**c) Kuinka monta tällaista fotonia tarvitaan, jotta kokonaisenergiaksi saadaan $1,0 \, \text{mJ}$?**

Kokonaisenergia $E_{\text{kok}} = 1,0 \, \text{mJ} = 1,0 \cdot 10^{-3} \, \text{J}$.
Fotonien lukumäärä $n$ saadaan jakamalla kokonaisenergia yhden fotonin energialla:
$$n = \frac{E_{\text{kok}}}{E_{\text{fotoni}}}$$
$$n = \frac{1,0 \cdot 10^{-3} \, \text{J}}{7,956 \cdot 10^{-19} \, \text{J}}$$
$$n \approx 1,2569 \cdot 10^{15}$$

Pyöristettynä kahden merkitsevän numeron tarkkuudella (perustuen arvoon 1,0 mJ):
$$n \approx 1,3 \cdot 10^{15}$$

**Vastaus:** Fotonien lukumäärä on noin $1,3 \cdot 10^{15}$ kappaletta.

Tässä on vastaus kysymykseen annettujen tekstien ja fysiikan periaatteiden mukaisesti:

### a) Röntgenfotonin energia elektronivoltteina

Kun elektronia kiihdytetään jännitteellä $U$, se saa liike-energian $E_k = eU$. Tehtävänannon mukaan elektroni luovuttaa kaiken energiansa yhdelle fotonille, jolloin fotonin energia on:
$$E = eU$$
Sijoitetaan arvot ($U = 60,0 \text{ kV} = 60\,000 \text{ V}$):
$$E = e \cdot 60\,000 \text{ V} = 60\,000 \text{ eV} = \mathbf{60,0 \text{ keV}}$$

### b) Fotonin vastaava aallonpituus

Fotonin energia ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $E = \frac{hc}{\lambda}$, josta aallonpituus $\lambda$ voidaan ratkaista:
$$\lambda = \frac{hc}{E}$$
Lasketaan ensin energia jouleina:
$$E = 60\,000 \text{ eV} \cdot 1,60 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV} = 9,60 \cdot 10^{-15} \text{ J}$$
Sijoitetaan vakioarvot kaavaan:
$$\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{9,60 \cdot 10^{-15} \text{ J}}$$
$$\lambda \approx 2,071875 \cdot 10^{-11} \text{ m} \approx \mathbf{2,07 \cdot 10^{-11} \text{ m}} \text{ (tai } 0,0207 \text{ nm)}$$

### c) Selitys röntgenspektrin rakenteelle

Röntgenspektri koostuu kahdesta eri ilmiöstä:

1. **Jatkuva spektri (jarrutussäteily):** Syntyy, kun kiihdytetyt elektronit hidastuvat ja siroavat anodiaineen atomeista. Klassisen teorian mukaan kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus lähettää sähkömagneettista säteilyä. Koska elektronit voivat menettää eri suuruisia määriä liike-energiastaan kerralla, syntyy jatkuva spektri, jolla on tietty minimiaallonpituus ($\lambda_{\min}$).
2. **Ominaissäteilypiikit:** Syntyvät, kun suurienerginen elektroni virittää anodiaineen atomin irrottamalla elektronin sen sisemmältä kuorelta. Kun ylemmän energiatason elektroni putoaa täyttämään tämän aukon, vapautuu energiaa karakteristisena röntgenfotonina. Näiden fotonien energiat ovat kullekin alkuaineelle ominaisia, mikä näkyy spektrissä kapeina ja korkeina piikkeinä jatkuvan spektrin päällä.

Tässä on ratkaisu tehtävään annettujen tietojen ja fysiikan kaavojen avulla:

**Annetut arvot:**
* Aallonpituus $\lambda = 460 \, \text{nm} = 460 \cdot 10^{-9} \, \text{m}$
* Teho $P = 12,0 \, \text{W} = 12,0 \, \text{J/s}$
* Aika $t = 1,0 \, \text{h} = 3600 \, \text{s}$
* Planckin vakio $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}$
* Valon nopeus $c = 3,00 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$
* Avogadron vakio $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$

---

### a) Yhden sinisen fotonin energia

Fotonin energia lasketaan kaavalla:
$$E = \frac{hc}{\lambda}$$

Sijoitetaan arvot:
$$E = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{460 \cdot 10^{-9} \, \text{m}}$$
$$E \approx 4,3239 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \approx 4,32 \cdot 10^{-19} \, \text{J}$$

**Vastaus:** Yhden fotonin energia on **$4,32 \cdot 10^{-19} \, \text{J}$**.

---

### b) Kuinka monta fotonia valaisin lähettää sekunnissa?

Koska oletamme, että kaikki sähköenergia muuttuu valoksi, valaisimen teho $P$ on yhtä suuri kuin sekunnissa lähetettyjen fotonien kokonaisenergia. Jos sekunnissa lähetetään $n$ kappaletta fotoneja, niin:
$$P = n \cdot E \implies n = \frac{P}{E}$$

Sijoitetaan arvot:
$$n = \frac{12,0 \, \text{J/s}}{4,3239 \cdot 10^{-19} \, \text{J}}$$
$$n \approx 2,7752 \cdot 10^{19} \, \text{s}^{-1} \approx 2,78 \cdot 10^{19} \, \text{s}^{-1}$$

**Vastaus:** Valaisin lähettää noin **$2,78 \cdot 10^{19}$ fotonia sekunnissa**.

---

### c) Kuinka monta moolia fotoneja valaisin lähettää 1,0 tunnin aikana?

Lasketaan ensin fotonien kokonaismäärä $N$ yhden tunnin ($3600 \, \text{s}$) aikana:
$$N = n \cdot t = 2,7752 \cdot 10^{19} \, \text{s}^{-1} \cdot 3600 \, \text{s} \approx 9,9907 \cdot 10^{22} \, \text{kpl}$$

Muutetaan fotonien määrä mooleiksi käyttämällä Avogadron vakiota:
$$n_{\text{mol}} = \frac{N}{N_A}$$
$$n_{\text{mol}} = \frac{9,9907 \cdot 10^{22}}{6,02 \cdot 10^{23} \, \text{mol}^{-1}} \approx 0,16595 \, \text{mol}$$

Pyöristetään kahteen merkitsevään numeroon (ajan "1,0 h" mukaan):
$$n_{\text{mol}} \approx 0,17 \, \text{mol}$$

**Vastaus:** Valaisin lähettää tunnin aikana noin **$0,17$ moolia** fotoneja.

Fotonin energia on kääntäen verrannollinen valon aallonpituuteen. Kun laseri vaihdetaan punaisesta vihreään, aallonpituus lyhenee, mikä tarkoittaa, että **fotonin energia kasvaa**.

Tässä on yksityiskohtainen ratkaisu:

### 1. Käytettävä kaava
Passagen 5 mukaisesti fotonin energia $E$ lasketaan kaavalla:
$$E = hf = \frac{hc}{\lambda}$$
missä:
* $h$ on Planckin vakio ($6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Js}$)
* $c$ on valon nopeus tyhjiössä ($3,000 \cdot 10^8 \text{ m/s}$)
* $\lambda$ on valon aallonpituus

### 2. Energioiden vertailu
Lasketaan punaisen ja vihreän valon fotonien energioiden suhde:

* Punaisen valon aallonpituus $\lambda_1 = 650 \text{ nm}$
* Vihreän valon aallonpituus $\lambda_2 = 520 \text{ nm}$

Koska $h$ ja $c$ ovat vakioita, voimme verrata energioita seuraavasti:
$$\frac{E_{vihreä}}{E_{punainen}} = \frac{\frac{hc}{\lambda_2}}{\frac{hc}{\lambda_1}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$$

Sijoitetaan arvot:
$$\frac{E_{vihreä}}{E_{punainen}} = \frac{650 \text{ nm}}{520 \text{ nm}} = 1,25$$

### 3. Johtopäätös
Vihreän laserin fotonin energia on **1,25-kertainen** verrattuna punaisen laserin fotonin energiaan.

**Vastaus:** Fotonin energia kasvaa. Se on vihreällä laserilla 25 % suurempi kuin punaisella laserilla.

Annetun aineiston perusteella fotonin energia lasketaan Planckin yhtälön mukaisesti.

**Ratkaisu:**

1. **Käytettävä kaava:**
Fotonin energia $E$ saadaan kaavalla:
$$E = h f$$
missä:
* $h$ on Planckin vakio ($6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Js}$, lähde: Passage 1)
* $f$ on valon taajuus ($1,0 \cdot 10^{15} \text{ Hz}$)

2. **Arvojen sijoittaminen:**
$$E = 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 1,0 \cdot 10^{15} \text{ Hz}$$

3. **Laskutoimitus:**
$$E = 6,626 \cdot 10^{-19} \text{ J}$$

Pyöristettynä kahteen merkitsevään numeroon (annetun taajuuden tarkkuuden mukaan):
$$E \approx 6,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}$$

**Vastaus:**
Oikea väite fotonin energiasta on, että se on noin **$6,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}$**.